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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones
c) $f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}-x^{3}}$
c) $f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}-x^{3}}$
Respuesta
Vamos a seguir los pasos que vimos en la clase "Puntos de inflexión. Concavidad de una función" 😊
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1) El dominio de la función es $\mathbb{R}$ (es una raíz cúbica!)
2) Calculamos $f'(x)$ y $f''(x)$
Para derivar $f$, acordate de reescribir la función así:
$f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}-x^{3}} = (2 x^{2}-x^{3})^{1/3}$
Y ahora si, derivamos con las reglas para polinomios:
\( f'(x) = \frac{1}{3} (2x^2 - x^3)^{-2/3} \cdot (4x - 3x^2) \)
Derivamos una vez más, aplicamos regla del producto
$ f''(x) = \frac{1}{3} \left[ -\frac{2}{3} (2x^2 - x^3)^{-5/3} \cdot (4x - 3x^2) \cdot (4x - 3x^2) + (2x^2 - x^3)^{-2/3} \cdot (4 - 6x) \right] $
$ f''(x) = \frac{1}{3} \left[ -\frac{2}{3} (2x^2 - x^3)^{-5/3} \cdot (4x - 3x^2)^2 + (2x^2 - x^3)^{-2/3} \cdot (4 - 6x) \right] $
Ahora ojo acá! Fijate que nos quedaron expresiones elevadas a exponentes negativos, es decir, la expresió $2x^2 - x^3$ está en el denominador y no puede ser cero! Es decir, $x = 0$ y $x=2$ no forman parte del dominio de $f''(x)$ pero si formaban parte del dominio de $f(x)$. $f''(x)$ no es continua en esos puntos, así que cuando nos armemos nuestra tablita los vamos a tener en cuenta.
3) Igualamos $f''(x)$ a cero para encontrar los puntos de inflexión
😳😳😳😧😧😧
$\frac{1}{3} \left[ -\frac{2}{3} (2x^2 - x^3)^{-5/3} \cdot (4x - 3x^2)^2 + (2x^2 - x^3)^{-2/3} \cdot (4 - 6x) \right] = 0$
Vamos despacito. Lo primero que hago es pasar ese $\frac{1}{3}$ para el otro lado y vuela. Ahora fijate cómo voy a reescribirme las expresiones con exponentes negativos (esto es muuuy conveniente para ayudarme a darme cuenta cómo despejar)
$ -\frac{2}{3} \frac{(4x - 3x^2)^2}{(2x^2 - x^3)^{5/3}} + \frac{(4 - 6x)}{(2x^2 - x^3)^{2/3}} = 0 $
Paso el primer término que está restando para el otro lado:
$ \frac{(4 - 6x)}{(2x^2 - x^3)^{2/3}} = \frac{2}{3} \frac{(4x - 3x^2)^2}{(2x^2 - x^3)^{5/3}} $
Paso multiplicando el $(2x^2 - x^3)^{5/3}$ y después uso reglas de potencias (se restan los exponentes, me queda $1$!)
$ (2x^2 - x^3)(4 - 6x) = \frac{2}{3} (4x - 3x^2)^2 $
A la izquierda hago la distributiva, a la derecha abro ese cuadrado usando el cuadrado de un binomio:
$ 8x^2 - 12x^3 - 4x^3 + 6x^4 = \frac{2}{3} (16x^2 - 24x^3 + 9x^4) $
Hacemos la distributiva de la derecha:
$ 8x^2 - 12x^3 - 4x^3 + 6x^4 = \frac{32x^2}{3} - \frac{48x^3}{3} + \frac{18x^4}{3} $
$ 8x^2 - 12x^3 - 4x^3 + 6x^4 = \frac{32x^2}{3} - 16x^3 + 6x^4 $
Ahora, reescribimos la ecuación igualando a cero para ver más claramente en qué situación estamos:
$ 8x^2 - 16x^3 + 6x^4 - \frac{32x^2}{3} + 16x^3 - 6x^4 = 0 $
Apa, se nos cancelan varias cosas. Nos queda:
$ 8x^2 - \frac{32x^2}{3} = 0 $
$-\frac{8}{3} x^2 = 0$
Y si, todo este quilombo fue para llegar a que $x = 0$, pero $f''(x)$ no está definida en $x = 0$ (no formaba parte de su dominio), así que esta ecuación no-tiene-solución-me-quiero-matar (pero al menos los que hayan llegado hasta acá practicaron bastante de despeje de ecuaciones jaja)
4) Dividimos la recta real en intervalos donde $f''(x)$ es continua y no tiene raíces, y nos fijamos el signo:
a) \( (-\infty, 0) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia abajo.
b) \( (0,2) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia abajo.
c) \( (2, +\infty) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia arriba.
Por lo tanto, $x=2$ es un punto de inflexión.